On utilise fréquemment le théorème de Bayes en probabilité. Il est donc important de le connaître, de savoir l’utiliser, mais aussi de savoir le démontrer. Dans cet article, je vous montre une démonstration claire et simple de ce théorème.
Soit \( \Omega \) l’univers associé à une expérience aléatoire. Considérons B un évènement et \( \left( A_1, A_2, \ldots ,A_n \right) \) avec \( n \geq 2 \) une partition de B. Le théorème de Bayes est donné par : $$ P(A_i|B) = \frac { P(B|A_i) \times P(A_i) } { \sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i) } $$
Démonstration du théorème de Bayes
D’après la formule des probabilités conditionnelles, nous avons :$$ P(A_i|B) = \frac { P(A_i \cap B) } { P(B) } $$
Or, \( P(B|A_i) = \frac { P(B \cap A_i) } {P(A_i)} \quad \Leftrightarrow \quad P(A_i \cap B) = P(B|A_i) \times P(A_i) \)
Donc : \( P(A_i|B) = \frac { P(B|A_i) \times P(A_i) } { P(B) } \)
En outre, d’après la formule des probabilités totales, on a : $$ P(B) = \sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i) $$
Ainsi : $$ P(A_i|B) = \frac { P(B|A_i) \times P(A_i) } { \sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i) } $$
Vous connaissez à présent comment démontrer le théorème de Bayes. Des questions ou des remarques ? Alors faites le moi savoir en commentaire 🙂 .