On utilise fréquemment la formule de Bayes en probabilité. Il est donc important de la connaître, de savoir l’utiliser, mais aussi de savoir la démontrer. Dans cet article, je vous montre une démonstration claire et simple de cette formule.
Soit \( \Omega \) l’univers associé à une expérience aléatoire. Considérons B un évènement et \( \left( A_1, A_2, \ldots ,A_n \right) \) avec \( n \geq 2 \) une partition de B. La formule de Bayes est donnée par : $$ P(A_i|B) = \frac { P(B|A_i) \times P(A_i) } { \sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i) } $$
Démonstration de la formule de Bayes
D’après la formule des probabilités conditionnelles, nous avons :$$ P(A_i|B) = \frac { P(A_i \cap B) } { P(B) } $$
Or, \( P(B|A_i) = \frac { P(B \cap A_i) } {P(A_i)} \quad \Leftrightarrow \quad P(A_i \cap B) = P(B|A_i) \times P(A_i) \)
Donc : \( P(A_i|B) = \frac { P(B|A_i) \times P(A_i) } { P(B) } \)
En outre, d’après la formule des probabilités totales, on a : $$ P(B) = \sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i) $$
Ainsi : $$ P(A_i|B) = \frac { P(B|A_i) \times P(A_i) } { \sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i) } $$
Vous connaissez à présent comment démontrer la formule de Bayes. Des questions ou des remarques ? Alors faites le moi savoir en commentaire 🙂 .
