La démonstration de la formule des probabilités totales permet de mieux l’appréhender. Cette formule permet de calculer la probabilité d’un évènement à partir d’une partition de ce dernier.
Soient B un évènement et \( (A_1, A_2 \ldots A_n) \) une partition de B avec n \( \geq 2 \). Alors, la probabilité de l’évènement B est donnée par : $$ P(B) = \sum_{ i = 1 }^n P(A_i) \times P(B|A_i) $$
Dans cet article, je vous propose une démonstration simple de cette formule.
Démonstration de la formule des probabilités totales
\( (A_1, A_2 \ldots A_n) \) forme une partition de B.
Alors : $$ B = (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2) \cup \ldots \cup (B\cap A_n) $$
Ainsi, on obtient :
$$\begin {align*} \text {P}(B) & = P( \ (B\cap A_1) \cup (B\cap A_2) \cup \ldots \cup (B\cap A_n) \ ) \\& = P \left( \bigcup_{i = 1}^n B\cap A_i \right) \\ & = \sum_{i = 1}^n P( B\cap A_i ) \end {align*}
$$
Donc : $$ P(B) = \sum_{ i = 1 }^n P(A_i) \times P(B|A_i) $$
Vous connaissez à présent comment démontrer la formule des probabilité totales. Des questions ou des remarques ? Alors faites le moi savoir en commentaire 🙂 .