Dans cet article, je vous présente une démonstration de la formule de Bayes. On utilise fréquemment la formule de Bayes en probabilité. Il est donc important de la connaître, de savoir l’utiliser, mais aussi de savoir la démontrer.
Soit \( \Omega \) l’univers associé à une expérience aléatoire. Considérons B un évènement et \( \left( A_1, A_2, \ldots ,A_n \right) \) avec \( n \geq 2 \) une partition de B. La formule de Bayes est donnée par : $$ P(A_i|B) = \frac { P(B|A_i) \times P(A_i) } { \sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i) } $$
Démonstration de la formule de Bayes
D’après la formule des probabilités conditionnelles, nous avons :$$ P(A_i|B) = \frac { P(A_i \cap B) } { P(B) } $$
Or, \( P(B|A_i) = \frac { P(B \cap A_i) } {P(A_i)} \quad \Leftrightarrow \quad P(A_i \cap B) = P(B|A_i) \times P(A_i) \)
Donc : \( P(A_i|B) = \frac { P(B|A_i) \times P(A_i) } { P(B) } \)
En outre, d’après la formule des probabilités totales, on a : $$ P(B) = \sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i) $$
Ainsi : $$ P(A_i|B) = \frac { P(B|A_i) \times P(A_i) } { \sum_{i=1}^n P(B|A_i) \times P(A_i) } $$
Vous connaissez à présent comment démontrer la formule de Bayes. Des questions ou des remarques ? Alors faites le moi savoir en commentaire 🙂 .