Le binôme de Newton est une formule qui a été élaborée par Isaac Newton et est utilisée dans plusieurs domaines des mathématiques. Il est non seulement important de la connaître, mais également de savoir comment la démontrer. De ce fait, je vous propose ci-dessous une démonstration par récurrence de celle-ci.
Démonstration : formule du binôme de Newton
Soit à démontrer la formule suivante par récurrence pour tout \( a,b \in \mathbb {R}\) et \( n \in \mathbb {N} \) : $$ ( a + b )^n = \sum_{k = 0}^n C^k_n a^k b^{n-k} $$
- Vérifions si la formule du binôme de Newton est vraie au premier rang.
Pour n = o, on a :
$$ (a + b )^0 = 1 \quad et \quad C^0_0 a^0 b^0 = 1 $$
Donc, la formule est vraie au premier rang.
- Supposons la formule du binôme de Newton vraie au rang n et montrons qu’elle est également vraie au rang n+1.
En effet, au rang n+1 on a :
$$\begin {align*} \text {(a + b)}^{n+1} & = (a + b)^n (a + b) \\ & = \left(\sum_{k=0}^n C^k_n a^k b^{n-k}\right) (a + b) \\ & = \sum_{k=0}^n C^k_n a^{k+1} b^{n-k} \quad + \quad \sum_{k=0}^n C^k_n a^k b^{n+1-k} \end {align*}$$
Considérons \( \sum_{k=0}^n C^k_n a^{k+1} b^{n-k} \).
Posons i = k + 1. Ainsi : $$ \sum_{i=1}^{n+1 }C^{i-1}_n a^i b^{n+1-i} = \sum_{i=1}^{n}C^{i-1}_n a^i b^{n+1-i} \quad + \quad C^{n}_n a^{n+1} b^{0} = \sum_{k=1}^{n}C^{k-1}_n a^k b^{n+1-k} \quad + \quad C^{n}_n a^{n+1} b^{0} \quad $$ car i et k sont des compteurs.
De plus : $$ \sum_{k=0}^n C^k_n a^k b^{n+1-k} = \sum_{k=1}^n C^k_n a^k b^{n+1-k} \quad + \quad C^0_n a^0 b^{n+1} $$
Alors, on obtient donc :
$$\begin {align*} \text {(a + b)}^{n+1} & = \sum_{k=1}^{n} C^{k-1}_n a^k b^{n+1-k} \quad + \quad C^{n}_n a^{n+1} b^{0} \quad + \sum_{k=1}^n C^k_n a^k b^{n+1-k} \quad + \quad C^0_n a^0 b^{n+1} \\ & = \sum_{k=1}^{n} \left(C^{k-1}_n + C^k_n \right) a^k b^{n+1-k} \quad + \quad C^0_n a^0 b^{n+1} \quad + \quad C^{n}_n a^{n+1} b^{0} \end {align*}$$
Par ailleurs, la formule du triangle de Pascal nous donne : $$ \left( C^{k-1}_n + C^k_n \right) = C^k_{n+1} $$
En outre : $$ C^0_n = C^0_{n+1} \quad \text{et} \quad C^n_n = C^{n+1}_{n+1} $$
Ainsi donc :
$$\begin {align*} \text {(a + b)}^{n+1} & = \sum_{k=1}^{n} \left(C^{k-1}_n + C^k_n \right) a^k b^{n+1-k} \quad + \quad C^0_{n+1} a^0 b^{n+1} \quad + \quad C^{n+1}_{n+1} a^{n+1} b^{0} \\ & = \sum_{k=0}^{n+1} C^k_{n+1} a^k b^{n+1-k} \end {align*}$$
En conclusion : $$ \forall\ a,b \in \mathbb {R}\ \text{et}\ n \in \mathbb {N} : ( a + b )^n = \sum_{k = 0}^n C^k_n a^k b^{n-k} $$
Vous connaissez à présent comment démontrer la formule du binôme de Newton. Des questions ou des remarques ? Alors faites le moi savoir en commentaire 🙂 .
